Solução do Desafio Quinzenal

                             Abaixo as Soluções do DESAFIO QUINZENAL do dia 05/06/2014

Questão 1 - (SERPRO-2001/ESAF)  No último domingo, Dorneles não saiu para ir à...

SOLUÇÃO

Identificando cada sentença:

p: Dorneles não saiu para ir à missa
q: Denise dança
r: O grupo de Denise é aplaudido de pé
s: Paula vai ao parque
t: Paula vai pescar na praia

Simbolicamente teremos:

p ^ (q → r) ^ (s ˅ t) ^ (t → ~p) ^ (s → q)
Na expressão acima, (s ˅ t) é uma disjunção exclusiva, e também para as posteriores ocorrências.
Como p é verdadeiro, teremos:

V ^ (q → r) ^ (s ˅ t) ^ (t → F) ^ (s → q)

Ora, t deve ser falso, para que (t → F) seja verdadeiro. Então:
V ^ (q → r) ^ (s ˅ F) ^ (F → F) ^ (s → q)

Agora, s deve ser verdadeiro para que (s ˅ F) seja verdadeiro. Então:
V ^ (q → r) ^ (V ˅ F) ^ (F → F) ^ (V → q)

Concluindo que q deve ser verdadeiro, para que (V → q) seja verdadeiro. Daí:

V ^ (V → r) ^ (V ˅ F) ^ (F → F) ^ (V → V)

Finalmente, r deve ser verdadeiro para que  (V → r) seja verdadeiro. Então:

V ^ (V → V) ^ (V ˅ F) ^ (F → F) ^ (V → V)

Conclusão: p, q, r e s são verdadeiros e t é falso, ou seja , Dorneles não saiu para ir à missa, Denise dançou, o grupo de Denise foi aplaudido de pé, Paula foi ao parque e não foi pescar na praia.

RESPOSTA: Item d

Questão 2- (ANEEL-2004/ ESAF) Se não leio, não compreendo. Se jogo...

SOLUÇÃO

Identificando as sentenças:

p: Leio

q: Compreendo

r: Jogo

s: Desisto

t: É feriado

Simbolicamente teremos:

(~p → ~q) ^ ( r  → ~p)  ^ (~s → q)  ^ (t → ~s)

Ora,  (~s → q) é o mesmo que  (~q → s). Então:

(~p → ~q) ^ ( r  → ~p)  ^ (~q→ s)  ^ (t → ~s)  

Substituindo (~p → ~q)  ^  (~q → s) por (~p  → s), pois são sentenças equivalentes, teremos:

(~p → s) ^ ( r  → ~p)  ^ (t → ~s) 

Substituindo agora (~p → s) ^ (r → ~p) por (r → s), pois são sentenças equivalentes, teremos:

(r → s)  ^ (t → ~s)

Agora, substituindo  (t → ~s) por (s → ~t) que são equivalentes, chegamos a: 

(r → s)  ^ (s → ~t)

Finalmente, (r → s)  ^ (s → ~t) é equivalente a (r  →  ~t)

RESPOSTA: Item a

Questão 3- (ANEEL-2004/ESAF) Todos os alunos de uma escola estão matriculados no curso de Matemática...

SOLUÇÃO

Identificando os conjuntos por:

A: alunos com dificuldade em matemática

B: alunos com dificuldade em história

A ∩ B: alunos com dificuldade em matemática e história

Então, teremos:

P(A/B) = P(A∩B) / P(B)

P(A/B) = (1/100) / (4/100)

P(A/B) = 1/4 ou 25%

RESPOSTA: Item b

Questão 4- (ANEEL-2004/ESAF) Dez amigos, entre eles Mário e José...

SOLUÇÃO

Ora, como Mário e José devem ficar juntos, teremos:

P(n) = n !

P(9) = 9! (9 porque Mário e José constituirão um só elemento)

Más, Mário e José não é a mesma ordem que José e Mário. Então:

calculando o número de maneiras diferentes para que esta fila de amigos seja formada, chegamos a:

P(2) x 9! = 2! x 9!

RESPOSTA: Item c

Questão 5- (Gestor MG-2005/ESAF) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro...

SOLUÇÃO

Efetuando a identificação das sentenças por:

p: Pedro está em Roma

q: Paulo está em Paris

Nesta questão temos o caso de proposições equivalentes. Então:

~(p → q) =  (p  ^ ~q)

Analisando cada alternativa:

a) p  ^ q (falso)
b) ~(p  ˅ ~q) = ~p ^ q (falso)
c) ~(~p  ˅  ~q) = p  ^ q (falso)
d) ~(~p  ˅ q)  =  p ^  ~q (verdadeiro)
e) p  ˅ q (falso)

Portanto, "Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris" corresponde à alternativa d.

RESPOSTA: Item d

Questão 6 - (INSS 2008- CARGO 18/CESPE) Sabe-se que uma proposição na forma “Ou A ou B” tem valor lógico...

SOLUÇÃO

Como a proposição A possui valor lógico verdadeiro e a proposição B possui valor lógico falso, teremos:

A  ˅ B  = V  ˅  F
Ora, esta sentença possui valor lógico verdadeiro.Então, o item é correto.

RESPOSTA: Item correto. 

Questão 7 - (INSS 2008- CARGO 18/CESPE) A proposição composta “Se A então B”...

SOLUÇÃO

Simbolicamente teremos:

A → B = V → F.
A sentença acima, possui valor lógico falso. Então, o item está errado.

RESPOSTA: Item falso.

Questão 8 - (INSS 2008- CARGO 18/CESPE) Represente-se por ~A a proposição composta que é a negação...

SOLUÇÃO

Teremos:  A → B é falso para A verdadeiro e B, falso e ~A  → ~B é verdadeiro para A verdadeiro e B, falso. Então o item é falso.

RESPOSTA: Item falso.

Solução do Desafio Quinzenal

Abaixo as Soluções do DESAFIO QUINZENAL do dia 20/05/2014.

Questão 1 – (SERPRO /ESAF) Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto...

SOLUÇÃO

Pede-se o número mínimo de gravatas que  Hermes deverá pegar para ter ao menos 2 gravatas da mesma cor.

Como são 5 cores de gravatas diferentes, para ter certeza que ele terá duas gravatas da mesma cor, ele deverá retirar 6 gravatas (5+1).

RESPOSTA: Item c

Comunicado sobre postagem

Comunico aos internautas que a postagem de hoje, dia 05/06/2014 ocorrerá na segunda, dia 09/06/2014.  
Desculpe- me. Ocorreu um problema técnico.

Obrigado.

DESAFIO DA SEMANA

Questão 1 - (SERPRO - 2001 / ESAF) Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete gravatas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Hermes abre a gaveta e pega algumas gravatas. O número mínimo de gravatas que Hermes deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é:

a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 

Questão 2 - (SERPRO - 2001 / ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que:

a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas. 
b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira. 
c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira. 
d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira. 
e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.

Questão 3 - (SERPRO - 2001 / ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário estiveram, antes, na festa de aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha, conclui-se que, das amigas de Aninha:

a) todas foram à festa de Aninha e algumas não foram à festa de Betinha. 
b) pelo menos uma não foi à festa de Aninha. 
c) todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha. 
d) algumas foram à festa de Aninha mas não foram à festa de Betinha. 
e) algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.

Questão 4 - (SERPRO - 2001 / ESAF) Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é:

a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,15 
d) 0,20 
e) 0,24

Questão 5 - (TCE-RN - 2000 / ESAF) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:

a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo 
b) Bernardo é barrigudo ou César é careca 
c) César é careca e Maria é magra 
d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo 
e) Lúcia é linda e César é careca

Questão 6 - (TCE-RN - 2000 / ESAF) As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos convidados a uma festa:

(a) Gustavo chegou antes de Alberto e depois de Danilo       (b) Gustavo chegou antes de Beto e Beto chegou antes de Alberto se e somente se Alberto chegou depois de Danilo

(c) Carlos não chegou junto com Beto se e somente se Alberto chegou junto com Gustavo.

Logo,

a) Carlos chegou antes de Alberto e depois de Danilo 
b) Gustavo chegou junto com Carlos 
c) Alberto chegou junto com Carlos e depois de Beto 
d) Alberto chegou depois de Beto e junto com Gustavo 
e) Beto chegou antes de Alberto e junto com Danilo

Questão 7 - (TCE-RN - 2000 / ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:

a) 2/25 
b) 8/25 
c) 2/5 
d) 3/25 
e) 4/5

Questão 8 - (AFTN - 1998 / ESAF) Indique qual das opções abaixo é verdadeira.

a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x > 5 
b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2 
c) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que  x² + 5x = 0 
d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que   k² – 5k = 0 
e) Para todo número real positivo x, tem-se que x² > x 

SOLUÇÕES DO DESAFIO DA SEMANA

Abaixo as soluções do DESAFIO DA SEMANA do dia 04/05/2014

Questão 1 – (STN – 2008/ESAF) Ao resolver um problema de matemática, Ana.....

SOLUÇÃO

Identificando as expressões por:

Q: x = a

R: x = p

S: x = e

A proposição composta será expressa por:

(Q ˄ R) ˅ S

Como x ≠ e com S falso (texto), (Q ^ R) deve ser verdadeiro.

Mas, Q e R são verdadeiros, daí teremos que x = a e x = q.

RESPOSTA: Item c) x = a e x = p

SOLUÇÕES DO DESAFIO DA SEMANA

Abaixo as soluções do DESAFIO DA SEMANA do dia  21/04/2014

Questão 1 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 01 / CESPE) A quantidade de boletos de uma rifa cujos números tenham 3 algarismos.....

SOLUÇÃO:

Calculando a quantidade de números de 3 algarismos até 299.                

Para o algarismo da centena temos 2 possibilidades: pode ser 1 ou 2.

Para o algarismo da dezena temos 7 possibilidades: do total de 8 algarismos, excluímos uma possibilidade que é o algarismo da centena.

Para o algarismo da unidade temos 6 possibilidades: de 1 a 8, excluindo os algarismos da centena e dezena.

Pelo Princípio  Multiplicativo teremos:

2 x 7 x 6 = 84

Agora, calculando a quantidade de números de 300 a 349.

Para o algarismo da centena só 1 possibilidade, pois só pode ser o 3.

Para algarismo da dezena só podemos utilizar 1, 2, 3 e 4 (excluindo o que já foi utilizado na centena), portanto teremos 3 possibilidades.

Para a unidade, total de 6 possibilidades (excluindo o da dezena e o da centena).

Daí: 1 x 3 x 6 = 18

Ora: 84 + 18 = 102

RESPOSTA: Item errado.

Questão 2 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 01 / CESPE) O diretor de uma escola recebeu 7 convites, 3 para o teatro e 4 para o circo, para serem distribuídos......

SOLUÇÃO:

Calculando a quantidade de convites para o circo:
C(10,3) = 10!/[3! (10 – 3)!] 
C(10,3) = 10!/[3! x 7!] 
C(10,3) = (10x9x8x7!)/ (3x2x7!)
C(10,3) = (10x9x8)/(3x2)
C(10,3) = 120

Calculando a quantidade de convites para o circo:
C(7,4) = 7!/[4!(7 – 4)!]
C(7,4) = 7!/[4!x3!] 
C(7,4) = (7x6x5x4!)/(4! x 3 x 2)
C(7,4) = (7x6x5)/(3x2)
C(7,4) = 35

Total de maneiras para se distribuir os convites: 120 x 35 = 4200

RESPOSTA: Item errado.

Questão 3 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Considere que a secretaria de uma escola disponha de 6 guichês de atendimento.....

SOLUÇÃO:

Um guichê pode estar aberto ou fechado (2 possibilidades para cada guichê).

Vou indicar cada guichê por um traço.

Então:  _  _  _  _  _  _   
Ora, no 1º guichê,  2 possibilidades; no 2º , 2 possibilidades e assim por diante. 
Aplicando o Princípio Fundamental de Contagem, teremos:
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

Cuidado!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Nestas 64 possibilidades foi incluído uma em que todas os guichês estão fechados (o texto impõe pelo menos um guichê aberto).    
Daí: 64 – 1 = 63

RESPOSTA: Item errado.

Questão 4 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Com o presidente do sindicato ocupando uma das cabeceiras da mesa de reuniões........

SOLUÇÃO:

Escolha da cabeceira: A(2.1) = 2!/(2-1)! = 2.                                                                                       Escolha  das cadeiras: 11 de um total de 13                                                                                       C(13,11) = 13!/[11!(13-11)!] 

C(13,11) = (13x12x11!)/(11!x2!) 

C(13,11) =  (13x12)/2                                                                                                                               C(13,11) = 78

Agora, calculando as possibilidades de 11 funcionários ocuparem 11 cadeiras.

P(11) = 11! = 39.916.800 

Total de maneiras possíveis: 2x78x39916800 = 6.227.020.800

RESPOSTA: Item errado.

Questão 5 - (TRT-17ª Região - 2009 / CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições.
A sentença: “  A sede do TRT/ES......   “ é uma proposição, pois pode assumir um valor lógico V ou F.
A sentença seguinte: “Por que existem juízes substitutos?” não é uma proposição por se tratar de uma pergunta  ou seja não pose assumir um valor lógico V nem F.
Na última sentença: “Ele é um.........” não sabemos de quem se está falando (Ele), portanto, não é uma proposição.

RESPOSTA: Item errado.

Questão 6 - (TRT-17ª Região - 2009 / CESPE) A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser.....”

SOLUÇÃO:

Efetuando as identificações para cada expressão: 
p: “ A constituição brasileira é moderna” 
q: “ A constituição brasileira precisa ser refeita”
A 1º proposição do texto será p v q. 
Mas, a 1º  proposição corresponde à negação da 2º  , ou seja:~(p v q) = ~p ^ ~q
Portanto, quando p v q for V, a outra será F.

RESPOSTA: Item correto.

Questão 7 - (ATRFB - 2009 / ESAF) A afirmação: “João não chegou ou Maria.......

SOLUÇÃO:

Identificando cada expressão por: 
p: “João chegou” 
q: “Maria está atrasada” 
Então temos: ~p v q
Assim: “Se João chegou então  Maria está atrasada”                                                                  Ora, existe a equivalência entre: ~p V q e p  →  q

RESPOSTA:  Item d) Se João  chegou, Maria está atrasada.

Questão  8 - (MDS - 2009 / CESPE) Julgue o item a seguir acerca de contagem de elementos. 

A quantidade de anagramas distintos que podem.......

SOLUÇÃO:

Identificando vogal por V e consoante por C.

Teremos a seguinte situação: VCVCVCVCV.

O total de anagramas envolvendo as vogais será uma permutação de 5 letras (vogais) com 2 se repetindo:

5!/2! = 5x4x3x2!/(2!) = 60

O total de anagramas envolvendo as consoantes será uma permutação simples de 4  letras (consoantes): 4! = 4x3x2 = 24                                                                                                              Como para cada uma das 60 possibilidades (vogais)  teremos 24 possibilidades (consoantes), então 60x24 = 1440

RESPOSTA: Item correto.

DESAFIO DA SEMANA

Questão 1 - (STN - 2008 / ESAF) Ao resolver um problema de matemática, Ana chegou à conclusão de que: x = a e x = p, ou x = e. Contudo, sentindo-se insegura para concluir em definitivo a resposta do problema, Ana telefona para Beatriz, que lhe dá a seguinte informação: x ≠ e. Assim, Ana corretamente conclui que:

a)     x ≠ a ou x ≠ e

b)     x = a ou x = p

c)      x = a e x = p 

d)     x = a e x ≠ p 

e)     x ≠ a e x ≠ p

Questão 2 - (STN - 2008 / ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem  olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:

a) 0
b) 10/19
c) 19/50
d) 10/50
e) 19/31

Texto para as questões  3 e 4.

O tabuleiro a seguir é usado em um jogo que uma professora de Matemática costuma propor a seus alunos do 6° ano.

INICIO

7

16

27

12

41

8

60

15

20

36

CHEGADA

A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde está marcado o número 7, deve jogar um dado numerado de 1 a 6 e dividir o número da casa onde se encontra pela pontuação obtida no dado. O resto dessa divisão indicará a quantidade de casas que ele deverá avançar. Por exemplo, se na primeira rodada um jogador tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da divisão de 7 por 5, chegando à casa onde está marcado o número 27. O jogador que primeiro atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o vencedor.

Questão 3 - (Fiscal-ICMS-SP - 2009 / FCC) Lendo-se as regras do jogo,  percebe-se que sua dinâmica depende dos números marcados nas diversas casas do tabuleiro. O número 27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que houvesse qualquer alteração na dinâmica do jogo, pelo número:

a) 77
b) 81
c) 84
d) 87
e) 96

Questão 4 - (Fiscal-ICMS-SP - 2009 / FCC) Se um jogador cair em uma determinada casa do tabuleiro, ele não poderá mais ganhar o jogo, pois não conseguirá mais avançar a partir daquela casa. Por esse motivo, essa casa é chamada de “buraco negro”. Para que um jogador caia no “buraco negro”, ele deverá, necessariamente, estar numa outra casa específica do tabuleiro e, ao jogar o dado, obter pontuação igual a:

a) 2                                                                                                                                                             b) 3
c) 4
d) 5
e) 6 

Questão 5 - (Fiscal-ICMS-SP - 2009 / FCC) Em toda a sua carreira, um tenista já disputou N partidas, tendo vencido 70% delas. Considere que esse tenista ainda vá disputar, antes de se aposentar, mais X partidas, e que vença todas elas. Para que o seu percentual de vitórias ao terminar sua carreira suba para 90%, X deverá ser igual a:

a)  N
b) 1,2 N.
c) 1,3 N.
d) 1,5 N.
e) 2 N. 

Questão 6 - (Técnico - BACEN - 2006 / FCC) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1000 e 9999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro e o último algarismo é 3, é igual a:

a) 936
b) 896
c) 784
d) 768
e) 728

Questão 7 - (BACEN - 2010 / CESGRANRIO) Analise as afirmativas abaixo.

I - A parte sempre cabe no todo.
II - O inimigo do meu inimigo é meu amigo.
III - Um professor de matemática afirma que todos os professores de matemática são mentirosos.
Do ponto de vista da lógica, é(são) sempre verdadeira(s) somente a(s) afirmativa(s):

a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III. 

Questão 8 - (PRF - 2009 / FUNRIO) Em uma reunião de agentes da Polícia Rodoviária Federal, verificou-se que a presença por Estado correspondia a 46 % do Rio de Janeiro, 34 % de Minas Gerais e 20 % do Espírito Santo. Alguns agentes do Rio de Janeiro se ausentaram antes do final da reunião, alterando o percentual de agentes presentes do Rio de Janeiro para 40 %. O percentual referente ao número de agentes que se retirou em relação ao total inicialmente presente na reunião é de:

a) 6 %.
b) 8 %.
c) 12 %.
d) 10 %.
e) 15 %.